上海地鐵線路選擇算法

A罩杯 · 發(fā)表于 2013-8-28 16:28

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這兩天，博客園里有人談?wù)摰降罔F圖的實現(xiàn)，而之前我也和NeoRAGEx2002同學做了一個Android地鐵圖應(yīng)用，因此，對于地鐵圖的尋路算法，我覺得有必要專門寫一篇博客來給出我們的解決方案，供大家參考。本文所述算法的時間復(fù)雜度為O(|E|log|E|)，其中|E|為邊的數(shù)量。



1)點和邊

基礎(chǔ)元素為點(地鐵站)和邊(兩個相鄰站之間的有向軌道)。
例如，經(jīng)過莘莊站有1號線和5號線，含有莘莊站的邊有4條，經(jīng)過世紀大道站有4條線路，含有世紀大道站的邊有8條。

2)運營段

在邊的基礎(chǔ)上，還有運營段的概念，即一組連續(xù)邊的集合。
例如，1號線有莘莊-富錦路(發(fā)車間隔8分)、莘莊-上?；疖囌?發(fā)車間隔6分)、上海南站-富錦路(發(fā)車間隔8分)、上海南站-上海火車站(發(fā)車間隔6分)、富錦路-莘莊(發(fā)車間隔8分)、上?；疖囌?莘莊(發(fā)車間隔6分)等運營段。

3)代價

尋路算法的依據(jù)可以為時間、換乘次數(shù)、經(jīng)過邊數(shù)等任意非負代價，這里著重對時間進行建模。
每條邊有一個乘坐時間代價，表示乘坐地鐵經(jīng)過該邊所需要花費的時間。
每個運營段有一個等車時間代價，為通過該運營段中的邊乘車需要等車的時間，通?？梢约僭O(shè)為發(fā)車間隔時間(等車時間的最大值)或者發(fā)車間隔時間的一半(等車時間的數(shù)學期望)。
在每個點有一個換乘時間代價矩陣，表示在任意兩條邊之間換乘所需要花費的時間。兩邊之間的關(guān)系有直接連通、換乘、不連通三種。連通的換乘時間代價為0，換乘的換乘時間代價為換乘行走時間+等車時間，不連通的換乘時間代價為+∞。這個矩陣可以用稀疏矩陣表示，不連通的兩邊不出現(xiàn)。由于地鐵的設(shè)計使得我們不需要考慮沿著某條線路折返的路線，我們可以將一邊和它的相反邊看做不連通而不是換乘，這樣可以降低圖的復(fù)雜度。

1)思路

傳統(tǒng)的最短路徑算法很多，比如
Dijkstra算法，不過這種算法沒有辦法解決換乘時間代價問題。
廣度優(yōu)先算法，在加權(quán)圖的時候無法得到最優(yōu)解。
受限的深度優(yōu)先算法，能得到結(jié)果，但路徑比較長時算法時間過長。

我們可以考慮這樣一個自然現(xiàn)象，雪水在山峰上融化，然后流經(jīng)各個山谷。各站點就是山谷中的點，換乘站點就是山谷分成多股的交叉點。
假設(shè)起始點是山峰，水沿著各邊擴散，經(jīng)過一邊的用時和邊上的乘坐時間代價一樣，從一邊到一鄰邊，需要等待換乘時間代價。不停往起始點倒水，水不停流動，當水到達終止點時，水流經(jīng)過的路徑就是我們所需要的最短路徑。

這個模型的問題在于水可以有多股水流同時流動，但是我們的算法應(yīng)該有一個順序，我們可以假設(shè)有一個水流切線，表示所有水流的最前端位置。任意邊e，當其起點被水流所覆蓋，而終點沒有被水流覆蓋時，將e加入按代價排序的切線邊列表C(紅黑樹或平衡樹實現(xiàn))，并記錄e->水流經(jīng)過的上一邊。繼續(xù)讓水流動，則C中的第一個邊e的終點最先被水流所覆蓋，從C中移除e。當?shù)竭_尋路的終止點時，我們可以通過從最后一條邊開始回溯上一邊，再上一邊的上一邊，直到尋路的起點，這樣就獲得了所需要的路徑。

算法也可以不在終點結(jié)束，而直到水流覆蓋地圖上的所有點，對性能并沒有明顯的影響。

2)例子

如圖1所示：

圖1(a) 時間代價圖1(b) 搜索順序

為了簡化問題，我們假設(shè)2號線(綠色)和9號線(水色)不存在，只考慮4號線(深藍色)和6號線(紫紅色)。
圖1(a)中表示了4號線和6號線的邊的時間代價，其中白色表示等車時間，黃色表示乘車時間。
我們假設(shè)每個換乘站，換乘時的行走時間為4分鐘。
圖1(b)表示了搜索順序，對于相同的代價，其搜索順序不定，由切線邊列表C的實現(xiàn)決定。
例子中的起始點為世紀大道，終止點為上海兒童醫(yī)學中心。

切線邊列表C的變化如下

{1, 2, 3, 5}  {2, 3, 4, 5}
{3, 4, 5, 6}  {4, 5, 6, 9}
{5, 6, 7, 9}  {6, 7, 8, 9}
{7, 8, 9, 10, .., ..}  {8, 9, 10, .., .., ..}
{9, 10, .., .., .., ..}  {10, .., .., .., .., ..}
需要注意到消去6的時候，增加了10、(藍村路, 塘橋)、9的反向邊三條邊，消去9的時候，增加了6的反向邊。
消去9時，會再次搜索到10，此時的時間代價為13+4+8=25，但因為10已經(jīng)記錄了其上一邊，所以不再加入C。

3)實現(xiàn)

偽代碼如下：

record Vertex //點    InEdges:List<Edge> //進站邊
OutEdges:List<Edge> //出站邊    Connection:Map<Tuple<Edge, Edge>, EdgeConnection> //邊連接矩陣，包含換乘行走時間代價，當不連接時不存在
record Edge //邊
Start:Vertex //起點    End:Vertex //終點
Cost:Int //乘坐時間代價    Ranges:List<Range> //運營段
record Range //運營段
Edges:List<Edge> //邊    Cost:Int //等車時間
taggedunion EdgeConnection
Connected:Unit //直接連接    Transferable:Int //換乘，行走時間代價
CalculateRoute(Start:Vertex, End:Vertex):List<Edge>
if Start == End       return new List<Edge>() //起始點和終止點重合
   let Previous <- new Map<Edge, Edge>() //邊到上一邊的映射
let cmp <- (Comparer<Edge>)(...) //路徑代價比較函數(shù)，將在下面給出    let CutEdges <- new RedBlackTree<Edge>(cmp) //水流切線邊列表
   foreach o in Start.OutEdges
      CutEdges <- CutEdges + o       Previous <- Previous + (o, null)
   let e <- (Edge)(null) //終邊
   while CutEdges.Count > 0
      let i <- CutEdges.First       CutEdges <- CutEdges - i
      let s <- i.End
      if s == End             e <- i
         break
      foreach o in s.OutEdges             if !s.Connection.ContainsKey((i, o))
            continue
         if Previous.ContainsKey(o)                continue
         Previous <- Previous + (o, i)
         CutEdges <- CutEdges + o
if e == null       return null //沒有路徑
   let l <- new List<Edge>()
while e != null       l <- l + e
      e <- Previous(e)    return l.Reverse()
下面為當尋路依據(jù)為時間時的比較函數(shù)

let Time <- new Map<Edge, Int>()  let Range <- new Map<Edge, Range>()
let GetBestRange <- l:List<Range> => l.OrderBy(r => r.Cost).First  let GetTime <-
e =>       if e == null
         return 0       if Time.ContainsKey(e)
         return Time(e)       let p <- Previous(e)
      let v <- GetTime(p)       if p != null
         let c <- e.Start.Connection((p, e))             if c
         | Connected ->                let rgOld <- Range(p)
            let rg <- GetBestRange(p.Ranges.Intersect(e.Ranges))                Range <- Range + (e, rg)
            if rgOld != rg                   v <- v - rgOld.Cost + rg.Cost
         | Transferable t ->                let rg <- GetBestRange(e.Ranges)
            Range <- Range + (e, rg)                v <- v + rg.Cost + t
      else          let rg <- GetBestRange(e.Ranges)
         Range <- Range + (e, rg)             v <- v + rg.Cost
      v <- v + e.Cost       Time <- Time + (e, v)
      return v  let cmp <-
(l:Edge, r:Edge) =>       return GetTime(l) - GetTime(r)
下面為當尋路依據(jù)為換乘次數(shù)時的比較函數(shù)

let TransferCount <- new Map<Edge, Int>()  let GetTransferCount <-
e =>       if e == null
         return 0       if TransferCount.ContainsKey(e)
         return TransferCount(e)       let p <- Previous(e)
      let v <- GetTransferCount(p)       if p != null
         let c <- e.Start.Connection((p, e))             if c
         | Connected ->                ()
         | Transferable _ ->                v += 1
      TransferCount <- TransferCount + (e, v)       return v
let cmp <-    (l:Edge, r:Edge) =>       return GetTransferCount(l) - GetTransferCount(r)
下面為當尋路依據(jù)為經(jīng)過邊數(shù)時的比較函數(shù)

let StopCount <- new Map<Edge, Int>()  let GetStopCount <-
e =>       if e == null
         return 0       if StopCount.ContainsKey(e)
         return StopCount(e)       let p <- Previous(e)
      let v <- GetStopCount(p) + 1       StopCount <- StopCount + (e, v)
      return v  let cmp <-
(l:Edge, r:Edge) =>       return GetStopCount(l) - GetStopCount(r)

認為點的入站邊和出站邊很少，覆蓋每條邊的運營段很少，并注意到GetTime運行時遞歸的部分總會在Time變量中緩存，可知時間比較函數(shù)的復(fù)雜度為O(1)。
CutEdges的紅黑樹插入刪除的復(fù)雜度為O(log|E|)。
所有邊最多進出CutEdges一次，可知整個算法的復(fù)雜度為O(|E|log|E|)。

本文所述算法能夠在O(|E|log|E|)時間內(nèi)快速得到全局最佳路徑。
在1GHz的單CPU手機上實測得到的上海地鐵(11條線路214站)任意兩站點之間的尋路時間均為200ms以下。

最后還是介紹下我們的應(yīng)用。
矢量地鐵（上海版）

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