上海地鐵線路選擇算法

A罩杯 · 發(fā)表于 2013-8-28 16:28

3

這兩天，博客園里有人談?wù)摰降罔F圖的實(shí)現(xiàn)，而之前我也和NeoRAGEx2002同學(xué)做了一個(gè)Android地鐵圖應(yīng)用，因此，對(duì)于地鐵圖的尋路算法，我覺(jué)得有必要專門(mén)寫(xiě)一篇博客來(lái)給出我們的解決方案，供大家參考。本文所述算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(|E|log|E|)，其中|E|為邊的數(shù)量。



1)點(diǎn)和邊

基礎(chǔ)元素為點(diǎn)(地鐵站)和邊(兩個(gè)相鄰站之間的有向軌道)。
例如，經(jīng)過(guò)莘莊站有1號(hào)線和5號(hào)線，含有莘莊站的邊有4條，經(jīng)過(guò)世紀(jì)大道站有4條線路，含有世紀(jì)大道站的邊有8條。

2)運(yùn)營(yíng)段

在邊的基礎(chǔ)上，還有運(yùn)營(yíng)段的概念，即一組連續(xù)邊的集合。
例如，1號(hào)線有莘莊-富錦路(發(fā)車間隔8分)、莘莊-上?；疖囌?發(fā)車間隔6分)、上海南站-富錦路(發(fā)車間隔8分)、上海南站-上?；疖囌?發(fā)車間隔6分)、富錦路-莘莊(發(fā)車間隔8分)、上?；疖囌?莘莊(發(fā)車間隔6分)等運(yùn)營(yíng)段。

3)代價(jià)

尋路算法的依據(jù)可以為時(shí)間、換乘次數(shù)、經(jīng)過(guò)邊數(shù)等任意非負(fù)代價(jià)，這里著重對(duì)時(shí)間進(jìn)行建模。
每條邊有一個(gè)乘坐時(shí)間代價(jià)，表示乘坐地鐵經(jīng)過(guò)該邊所需要花費(fèi)的時(shí)間。
每個(gè)運(yùn)營(yíng)段有一個(gè)等車時(shí)間代價(jià)，為通過(guò)該運(yùn)營(yíng)段中的邊乘車需要等車的時(shí)間，通常可以假設(shè)為發(fā)車間隔時(shí)間(等車時(shí)間的最大值)或者發(fā)車間隔時(shí)間的一半(等車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望)。
在每個(gè)點(diǎn)有一個(gè)換乘時(shí)間代價(jià)矩陣，表示在任意兩條邊之間換乘所需要花費(fèi)的時(shí)間。兩邊之間的關(guān)系有直接連通、換乘、不連通三種。連通的換乘時(shí)間代價(jià)為0，換乘的換乘時(shí)間代價(jià)為換乘行走時(shí)間+等車時(shí)間，不連通的換乘時(shí)間代價(jià)為+∞。這個(gè)矩陣可以用稀疏矩陣表示，不連通的兩邊不出現(xiàn)。由于地鐵的設(shè)計(jì)使得我們不需要考慮沿著某條線路折返的路線，我們可以將一邊和它的相反邊看做不連通而不是換乘，這樣可以降低圖的復(fù)雜度。

1)思路

傳統(tǒng)的最短路徑算法很多，比如
Dijkstra算法，不過(guò)這種算法沒(méi)有辦法解決換乘時(shí)間代價(jià)問(wèn)題。
廣度優(yōu)先算法，在加權(quán)圖的時(shí)候無(wú)法得到最優(yōu)解。
受限的深度優(yōu)先算法，能得到結(jié)果，但路徑比較長(zhǎng)時(shí)算法時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。

我們可以考慮這樣一個(gè)自然現(xiàn)象，雪水在山峰上融化，然后流經(jīng)各個(gè)山谷。各站點(diǎn)就是山谷中的點(diǎn)，換乘站點(diǎn)就是山谷分成多股的交叉點(diǎn)。
假設(shè)起始點(diǎn)是山峰，水沿著各邊擴(kuò)散，經(jīng)過(guò)一邊的用時(shí)和邊上的乘坐時(shí)間代價(jià)一樣，從一邊到一鄰邊，需要等待換乘時(shí)間代價(jià)。不停往起始點(diǎn)倒水，水不停流動(dòng)，當(dāng)水到達(dá)終止點(diǎn)時(shí)，水流經(jīng)過(guò)的路徑就是我們所需要的最短路徑。

這個(gè)模型的問(wèn)題在于水可以有多股水流同時(shí)流動(dòng)，但是我們的算法應(yīng)該有一個(gè)順序，我們可以假設(shè)有一個(gè)水流切線，表示所有水流的最前端位置。任意邊e，當(dāng)其起點(diǎn)被水流所覆蓋，而終點(diǎn)沒(méi)有被水流覆蓋時(shí)，將e加入按代價(jià)排序的切線邊列表C(紅黑樹(shù)或平衡樹(shù)實(shí)現(xiàn))，并記錄e->水流經(jīng)過(guò)的上一邊。繼續(xù)讓水流動(dòng)，則C中的第一個(gè)邊e的終點(diǎn)最先被水流所覆蓋，從C中移除e。當(dāng)?shù)竭_(dá)尋路的終止點(diǎn)時(shí)，我們可以通過(guò)從最后一條邊開(kāi)始回溯上一邊，再上一邊的上一邊，直到尋路的起點(diǎn)，這樣就獲得了所需要的路徑。

算法也可以不在終點(diǎn)結(jié)束，而直到水流覆蓋地圖上的所有點(diǎn)，對(duì)性能并沒(méi)有明顯的影響。

2)例子

如圖1所示：

圖1(a) 時(shí)間代價(jià)圖1(b) 搜索順序

為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們假設(shè)2號(hào)線(綠色)和9號(hào)線(水色)不存在，只考慮4號(hào)線(深藍(lán)色)和6號(hào)線(紫紅色)。
圖1(a)中表示了4號(hào)線和6號(hào)線的邊的時(shí)間代價(jià)，其中白色表示等車時(shí)間，黃色表示乘車時(shí)間。
我們假設(shè)每個(gè)換乘站，換乘時(shí)的行走時(shí)間為4分鐘。
圖1(b)表示了搜索順序，對(duì)于相同的代價(jià)，其搜索順序不定，由切線邊列表C的實(shí)現(xiàn)決定。
例子中的起始點(diǎn)為世紀(jì)大道，終止點(diǎn)為上海兒童醫(yī)學(xué)中心。

切線邊列表C的變化如下

{1, 2, 3, 5}  {2, 3, 4, 5}
{3, 4, 5, 6}  {4, 5, 6, 9}
{5, 6, 7, 9}  {6, 7, 8, 9}
{7, 8, 9, 10, .., ..}  {8, 9, 10, .., .., ..}
{9, 10, .., .., .., ..}  {10, .., .., .., .., ..}
需要注意到消去6的時(shí)候，增加了10、(藍(lán)村路, 塘橋)、9的反向邊三條邊，消去9的時(shí)候，增加了6的反向邊。
消去9時(shí)，會(huì)再次搜索到10，此時(shí)的時(shí)間代價(jià)為13+4+8=25，但因?yàn)?0已經(jīng)記錄了其上一邊，所以不再加入C。

3)實(shí)現(xiàn)

偽代碼如下：

record Vertex //點(diǎn)    InEdges:List<Edge> //進(jìn)站邊
OutEdges:List<Edge> //出站邊    Connection:Map<Tuple<Edge, Edge>, EdgeConnection> //邊連接矩陣，包含換乘行走時(shí)間代價(jià)，當(dāng)不連接時(shí)不存在
record Edge //邊
Start:Vertex //起點(diǎn)    End:Vertex //終點(diǎn)
Cost:Int //乘坐時(shí)間代價(jià)    Ranges:List<Range> //運(yùn)營(yíng)段
record Range //運(yùn)營(yíng)段
Edges:List<Edge> //邊    Cost:Int //等車時(shí)間
taggedunion EdgeConnection
Connected:Unit //直接連接    Transferable:Int //換乘，行走時(shí)間代價(jià)
CalculateRoute(Start:Vertex, End:Vertex):List<Edge>
if Start == End       return new List<Edge>() //起始點(diǎn)和終止點(diǎn)重合
   let Previous <- new Map<Edge, Edge>() //邊到上一邊的映射
let cmp <- (Comparer<Edge>)(...) //路徑代價(jià)比較函數(shù)，將在下面給出    let CutEdges <- new RedBlackTree<Edge>(cmp) //水流切線邊列表
   foreach o in Start.OutEdges
      CutEdges <- CutEdges + o       Previous <- Previous + (o, null)
   let e <- (Edge)(null) //終邊
   while CutEdges.Count > 0
      let i <- CutEdges.First       CutEdges <- CutEdges - i
      let s <- i.End
      if s == End             e <- i
         break
      foreach o in s.OutEdges             if !s.Connection.ContainsKey((i, o))
            continue
         if Previous.ContainsKey(o)                continue
         Previous <- Previous + (o, i)
         CutEdges <- CutEdges + o
if e == null       return null //沒(méi)有路徑
   let l <- new List<Edge>()
while e != null       l <- l + e
      e <- Previous(e)    return l.Reverse()
下面為當(dāng)尋路依據(jù)為時(shí)間時(shí)的比較函數(shù)

let Time <- new Map<Edge, Int>()  let Range <- new Map<Edge, Range>()
let GetBestRange <- l:List<Range> => l.OrderBy(r => r.Cost).First  let GetTime <-
e =>       if e == null
         return 0       if Time.ContainsKey(e)
         return Time(e)       let p <- Previous(e)
      let v <- GetTime(p)       if p != null
         let c <- e.Start.Connection((p, e))             if c
         | Connected ->                let rgOld <- Range(p)
            let rg <- GetBestRange(p.Ranges.Intersect(e.Ranges))                Range <- Range + (e, rg)
            if rgOld != rg                   v <- v - rgOld.Cost + rg.Cost
         | Transferable t ->                let rg <- GetBestRange(e.Ranges)
            Range <- Range + (e, rg)                v <- v + rg.Cost + t
      else          let rg <- GetBestRange(e.Ranges)
         Range <- Range + (e, rg)             v <- v + rg.Cost
      v <- v + e.Cost       Time <- Time + (e, v)
      return v  let cmp <-
(l:Edge, r:Edge) =>       return GetTime(l) - GetTime(r)
下面為當(dāng)尋路依據(jù)為換乘次數(shù)時(shí)的比較函數(shù)

let TransferCount <- new Map<Edge, Int>()  let GetTransferCount <-
e =>       if e == null
         return 0       if TransferCount.ContainsKey(e)
         return TransferCount(e)       let p <- Previous(e)
      let v <- GetTransferCount(p)       if p != null
         let c <- e.Start.Connection((p, e))             if c
         | Connected ->                ()
         | Transferable _ ->                v += 1
      TransferCount <- TransferCount + (e, v)       return v
let cmp <-    (l:Edge, r:Edge) =>       return GetTransferCount(l) - GetTransferCount(r)
下面為當(dāng)尋路依據(jù)為經(jīng)過(guò)邊數(shù)時(shí)的比較函數(shù)

let StopCount <- new Map<Edge, Int>()  let GetStopCount <-
e =>       if e == null
         return 0       if StopCount.ContainsKey(e)
         return StopCount(e)       let p <- Previous(e)
      let v <- GetStopCount(p) + 1       StopCount <- StopCount + (e, v)
      return v  let cmp <-
(l:Edge, r:Edge) =>       return GetStopCount(l) - GetStopCount(r)

認(rèn)為點(diǎn)的入站邊和出站邊很少，覆蓋每條邊的運(yùn)營(yíng)段很少，并注意到GetTime運(yùn)行時(shí)遞歸的部分總會(huì)在Time變量中緩存，可知時(shí)間比較函數(shù)的復(fù)雜度為O(1)。
CutEdges的紅黑樹(shù)插入刪除的復(fù)雜度為O(log|E|)。
所有邊最多進(jìn)出CutEdges一次，可知整個(gè)算法的復(fù)雜度為O(|E|log|E|)。

本文所述算法能夠在O(|E|log|E|)時(shí)間內(nèi)快速得到全局最佳路徑。
在1GHz的單CPU手機(jī)上實(shí)測(cè)得到的上海地鐵(11條線路214站)任意兩站點(diǎn)之間的尋路時(shí)間均為200ms以下。

最后還是介紹下我們的應(yīng)用。
矢量地鐵（上海版）

› 智能家居 / NAS / 路由 / 開(kāi)發(fā) / 音響 › TV應(yīng)用開(kāi)發(fā)交流

上海地鐵線路選擇算法

上海地鐵線路選擇算法